6. Упростите выражение (а + 1)(а – 1)(a² + 1) – (9 + a²)² и найдите его значение при a = 1/3.

6. Упростим выражение и найдем его значение:

Дано выражение: (а + 1)(а – 1)(a² + 1) – (9 + a²)²

Шаг 1: Упрощение выражения

1. Первые два множителя представляют собой разность квадратов:

   (а + 1)(а – 1) = a² - 1² = a² - 1

2. Теперь умножим полученное на (a² + 1):

   (a² - 1)(a² + 1). Снова разность квадратов, где x = a² и y = 1.

   (a² - 1)(a² + 1) = (a²)² - 1² = a⁴ - 1

3. Теперь развернем квадрат во второй части выражения:

   (9 + a²)². Используем формулу квадрата суммы: (x + y)² = x² + 2xy + y².

   (9 + a²)² = 9² + 2 \(\cdot\) 9 \(\cdot\) a² + (a²)² = 81 + 18a² + a⁴

4. Подставим оба упрощенных выражения обратно в исходное:

   (a⁴ - 1) - (81 + 18a² + a⁴)

5. Раскроем скобки, учитывая знак минус:

   a⁴ - 1 - 81 - 18a² - a⁴

6. Приведем подобные слагаемые:

   (a⁴ - a⁴) - 18a² + (-1 - 81) = -18a² - 82

Шаг 2: Нахождение значения при a = 1/3

1. Подставим a = 1/3 в упрощенное выражение -18a² - 82:

   -18 \(\cdot\) (1/3)² - 82

2. Вычислим квадрат дроби:

   (1/3)² = 1²/3² = 1/9

3. Теперь подставим это значение:

   -18 \(\cdot\) (1/9) - 82

4. Выполним умножение:

   -18/9 - 82 = -2 - 82

5. Выполним вычитание:

   -2 - 82 = -84

Ответ: Упрощенное выражение равно -18a² - 82. Его значение при a = 1/3 равно -84.