6. Токарь должен был выполнить заказ за 9 дней, но изготавливал на 2 детали в день больше, чем планировал, и закончил работу за 7 дней. Сколько деталей было в заказе?

Решение:

Пусть \( N \) — общее количество деталей в заказе, \( d \) — запланированное количество деталей в день, \( t_1 \) — запланированное время выполнения заказа (в днях), \( t_2 \) — фактическое время выполнения заказа (в днях).

По условию задачи:

• \( t_1 = 9 \) дней.
• \( t_2 = 7 \) дней.
• Фактическое количество деталей в день было на 2 больше, чем планировалось.

Исходя из этого, мы можем записать:

Запланированное количество деталей в день: \( d = \frac{N}{t_1} = \frac{N}{9} \)

Фактическое количество деталей в день: \( d + 2 = \frac{N}{t_2} = \frac{N}{7} \)

Теперь подставим выражение для \( d \) из первого уравнения во второе:

\( \frac{N}{9} + 2 = \frac{N}{7} \)

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное чисел 9 и 7, которое равно 63:

\( 63 · (\frac{N}{9} + 2) = 63 · \frac{N}{7} \)

\( 63 · \frac{N}{9} + 63 · 2 = 7N \)

\( 7N + 126 = 7N \)

Проведём преобразование:

\( 7N - 7N = -126 \)

\( 0 = -126 \)

Данное уравнение не имеет решений. Перепроверим условие задачи.

Давайте представим условие иначе:

Пусть \( x \) — запланированное количество деталей в день.

Тогда запланированное время выполнения заказа: \( \frac{N}{x} = 9 \) дней.

Фактическое количество деталей в день: \( x + 2 \).

Фактическое время выполнения заказа: \( \frac{N}{x+2} = 7 \) дней.

Из первого уравнения выразим \( N \): \( N = 9x \).

Подставим это выражение для \( N \) во второе уравнение:

\( \frac{9x}{x+2} = 7 \)

Умножим обе части на \( x+2 \):

\( 9x = 7(x+2) \)

Раскроем скобки:

\( 9x = 7x + 14 \)

Перенесём \( 7x \) в левую часть:

\( 9x - 7x = 14 \)

\( 2x = 14 \)

\( x = \frac{14}{2} = 7 \) деталей в день (планировал).

Теперь найдём общее количество деталей в заказе \( N \):

\( N = 9x = 9 · 7 = 63 \) детали.

Проверим: Если токарь изготавливал 7 деталей в день, а в заказе 63 детали, то он должен был работать \( 63 / 7 = 9 \) дней. Если он изготавливал на 2 детали больше, то есть \( 7 + 2 = 9 \) деталей в день, то работа займёт \( 63 / 9 = 7 \) дней. Условия задачи выполнены.

Ответ: в заказе было 63 детали.