5. От города до посёлка автомобиль доехал за 4 часа. На обратном пути он увеличил скорость на 20 км/ч и сэкономил 1 час. Найдите расстояние между городом и посёлком.

Решение:

Пусть \( S \) — расстояние между городом и посёлком (в км), \( v_1 \) — скорость автомобиля в первый раз (в км/ч), \( t_1 \) — время в пути в первый раз (в часах), \( v_2 \) — скорость автомобиля на обратном пути (в км/ч), \( t_2 \) — время в пути на обратном пути (в часах).

По условию задачи:

• \( t_1 = 4 \) часа.
• \( t_2 = t_1 - 1 = 4 - 1 = 3 \) часа (сэкономил 1 час).
• \( v_2 = v_1 + 20 \) км/ч (увеличил скорость на 20 км/ч).

Расстояние между городом и посёлком одинаковое в обе стороны, поэтому:

\( S = v_1 · t_1 \) и \( S = v_2 · t_2 \)

Подставим известные значения:

\( S = v_1 · 4 \) (1)

\( S = (v_1 + 20) · 3 \) (2)

Приравняем уравнения (1) и (2), так как расстояние одинаковое:

\( 4v_1 = 3(v_1 + 20) \)

Раскроем скобки:

\( 4v_1 = 3v_1 + 60 \)

Перенесём \( v_1 \) в левую часть:

\( 4v_1 - 3v_1 = 60 \)

\( v_1 = 60 \) км/ч

Теперь найдём расстояние \( S \) по формуле (1):

\( S = v_1 · t_1 = 60 · 4 = 240 \) км

Проверим, подставив \( v_1 \) в формулу (2):

\( v_2 = 60 + 20 = 80 \) км/ч

\( S = v_2 · t_2 = 80 · 3 = 240 \) км

Расстояния совпадают.

Ответ: расстояние между городом и посёлком составляет 240 км.