6. Тип 22 № 341420 Постройте график функции y = 3 - (x+2)/(x^2+2x) и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

1. Строим график функции \( y = 3 - \frac{x+2}{x^2+2x} \).

Упростим выражение: \( y = 3 - \frac{x+2}{x(x+2)} \). При \( x \neq -2 \) и \( x \neq 0 \), \( y = 3 - \frac{1}{x} \).

Таким образом, график функции — это гипербола \( y = 3 - \frac{1}{x} \) с выколотыми точками при \( x = -2 \) и \( x = 0 \).

Найдем координаты выколотых точек:

• При \( x = -2 \): \( y = 3 - \frac{1}{-2} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \). Выколотая точка: \( (-2, 3.5) \).
• При \( x = 0 \): функция не определена (вертикальная асимптота \( x=0 \)).

2. Определяем, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) не имеет с графиком ни одной общей точки.

Прямая \( y=m \) — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти \( m \) такое, чтобы \( m = 3 - \frac{1}{x} \) не имело решений, или чтобы единственное решение совпадало с выколотой точкой.

Из \( m = 3 - \frac{1}{x} \), получаем \( \frac{1}{x} = 3 - m \).

\( x = \frac{1}{3 - m} \).

Это уравнение имеет решение для любого \( m \), кроме \( m=3 \) (так как тогда знаменатель равен нулю).

Если \( m = 3 \), то \( 0 = -\frac{1}{x} \), что не имеет решений. Следовательно, прямая \( y=3 \) не пересекает график \( y = 3 - \frac{1}{x} \).

Теперь учтем выколотую точку \( (-2, 3.5) \).

Если \( m = 3.5 \), то \( x = \frac{1}{3 - 3.5} = \frac{1}{-0.5} = -2 \). Это значение \( x \) соответствует выколотой точке.

Таким образом, прямая \( y = 3.5 \) не имеет общих точек с графиком, потому что точка \( (-2, 3.5) \) выколота.

Ответ: m = 3 и m = 3.5.