1. Тип 22 № 153 Постройте график функции y = (2x+1)/(2x^2 - x) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Строим график функции \( y = \frac{2x+1}{2x^2 - x} \).

Для этого упростим выражение:

\( y = \frac{2x+1}{x(2x - 1)} \)

Область определения функции: \( x \neq 0 \) и \( x \neq \frac{1}{2} \).

Найдем точки пересечения с осями координат:

• При \( x = 0 \) функция не определена.
• При \( y = 0 \): \( 2x+1=0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \). Точка пересечения с осью OX: \( (-\frac{1}{2}; 0) \).

Найдем асимптоты:

• Вертикальные асимптоты: \( x=0 \) и \( x=\frac{1}{2} \).
• Горизонтальные асимптоты: При \( x \to \pm \infty \), \( y \to 0 \). Таким образом, \( y=0 \) — горизонтальная асимптота.

2. Определяем, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Приравниваем \( kx = \frac{2x+1}{x(2x - 1)} \):

\( kx^2(2x - 1) = 2x+1 \)

\( 2kx^3 - kx^2 - 2x - 1 = 0 \)

Это кубическое уравнение. Графически можно увидеть, что прямая \( y=kx \) будет иметь одну общую точку с графиком функции, если она является касательной к одной из ветвей графика или проходит через точку пересечения с осью OX.

Рассмотрим случай, когда прямая проходит через начало координат \( (0,0) \). Прямая \( y=kx \) всегда проходит через начало координат. Если \( k=0 \), то \( y=0 \), что является горизонтальной асимптотой. Она не пересекает график.

Если прямая \( y=kx \) проходит через точку \( (-\frac{1}{2}, 0) \), то \( 0 = k \cdot (-\frac{1}{2}) \), откуда \( k=0 \). Но \( y=0 \) — асимптота.

Для более точного решения необходимо проанализировать производную функции или использовать численные методы для поиска \( k \), при которых уравнение \( 2kx^3 - kx^2 - 2x - 1 = 0 \) имеет ровно один корень, отличный от \( x=0 \) и \( x=1/2 \).

Анализируя поведение функции и возможных касательных, можно предположить, что одна общая точка будет при \( k \) близких к нулю, но не равных ему.

Уточнение: Для решения данного типа задач, обычно анализируют количество корней уравнения \( k = \frac{2x+1}{x(2x-1)} \). Нам нужно найти \( k \) такие, чтобы \( \frac{2x+1}{2x^2-x} = kx \) имело ровно одно решение. Преобразуем: \( 2x+1 = kx(2x^2-x) \), \( 2x+1 = 2kx^3 - kx^2 \), \( 2kx^3 - kx^2 - 2x - 1 = 0 \). Без построения точного графика или использования численных методов, сложно точно определить значения \( k \). В рамках школьной программы, такое уравнение часто решается графически, предполагая, что прямая \( y=kx \) либо проходит через точку, где функция имеет особенность (но это не случай касания), либо является касательной.

Предполагаемый ответ (исходя из типичных задач данного типа): Значение \( k \) должно быть таким, чтобы при пересечении \( y=kx \) и \( y=\frac{2x+1}{2x^2-x} \), получалось ровно одно решение. Это может происходить, если прямая проходит через точку пересечения с осью x, или является касательной. Если \( y=kx \) проходит через \( (-\frac{1}{2}, 0) \), то \( k=0 \), что является асимптотой.

Важно: Задача требует построения графика, что дает визуальное представление. Без графика, решение данного уравнения \( 2kx^3 - kx^2 - 2x - 1 = 0 \) для нахождения \( k \) затруднительно.

Ответ: Точное значение k требует построения графика или численного анализа.