4. Тип 22 № 338300 Постройте график функции y = (3x+5)/(3x^2+5x) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Строим график функции \( y = \frac{3x+5}{3x^2+5x} \).

Упростим выражение: \( y = \frac{3x+5}{x(3x+5)} \). При \( x \neq -\frac{5}{3} \), \( y = \frac{1}{x} \).

Таким образом, график функции — это гипербола \( y = \frac{1}{x} \) с выколотой точкой при \( x = -\frac{5}{3} \).

Найдем координаты выколотой точки:

При \( x = -\frac{5}{3} \), \( y = \frac{1}{-5/3} = -\frac{3}{5} \). Выколотая точка: \( (-\frac{5}{3}, -\frac{3}{5}) \).

2. Определяем, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Приравниваем \( kx = \frac{1}{x} \):

\( kx^2 = 1 \)

\( kx^2 - 1 = 0 \)

Это уравнение имеет ровно одно решение, если \( k=0 \), тогда \( -1=0 \) (решений нет).

Если \( k > 0 \), то \( x^2 = \frac{1}{k} \), \( x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}} \). Два решения.

Если \( k < 0 \), то \( x^2 = \frac{1}{k} \), решений нет.

Теперь учтем выколотую точку \( (-\frac{5}{3}, -\frac{3}{5}) \).

Если прямая \( y = kx \) проходит через выколотую точку, то \( -\frac{3}{5} = k \cdot (-\frac{5}{3}) \).

\( k = \frac{-3/5}{-5/3} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25} \).

При \( k = \frac{9}{25} \), уравнение \( \frac{9}{25}x^2 - 1 = 0 \) имеет корни \( x = \pm \frac{5}{3} \). Одно из решений — \( x = \frac{5}{3} \), а не \( x = -\frac{5}{3} \). Таким образом, при \( k = \frac{9}{25} \) прямая \( y = \frac{9}{25}x \) имеет с графиком \( y = \frac{1}{x} \) два решения: \( x = \frac{5}{3} \) и \( x = -\frac{5}{3} \).

Проверим, проходит ли прямая \( y = kx \) через начало координат. \( y=0 \) — это горизонтальная асимптота, она не пересекает график.

Предполагаемый ответ: Если \( k > 0 \), то \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}} \). Необходимо, чтобы одно из этих решений было выколотой точкой \( x = -\frac{5}{3} \) или \( x = \frac{5}{3} \).

Если \( x = \frac{5}{3} \), то \( k \cdot (\frac{5}{3})^2 = 1 \) \( \Rightarrow k \cdot \frac{25}{9} = 1 \) \( \Rightarrow k = \frac{9}{25} \).

При \( k = \frac{9}{25} \), \( y = \frac{9}{25}x \). Уравнение \( \frac{9}{25}x^2=1 \) имеет корни \( x = \pm \frac{5}{3} \). Так как \( x = -\frac{5}{3} \) — выколотая точка, то при \( k = \frac{9}{25} \) прямая имеет одну общую точку с графиком.

Ответ: k = 9/25.