6. Сумма длин гипотенузы и катета, лежащего в данном треугольнике против угла в 30°, равна 24 см. Найдите площадь круга, описанного около треугольника.

Пусть \(c\) - гипотенуза, \(a\) - катет, лежащий против угла в 30°. Тогда \(c + a = 24\).
Так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то \(a = \frac{1}{2}c\).
Подставим это в первое уравнение:
\(c + \frac{1}{2}c = 24\)
\(\frac{3}{2}c = 24\)
\(c = \frac{2}{3} \times 24 = 16\) см.
Тогда \(a = \frac{1}{2} \times 16 = 8\) см.
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то есть \(R = \frac{c}{2} = \frac{16}{2} = 8\) см.
Площадь круга равна \(S = \pi R^2 = \pi \times 8^2 = 64\pi\) кв. см.

Ответ: \(64\pi\) кв. см.