6. Решите уравнение (5x - 3)(5х+3) - (4x - 5)² = 4x - 34

Решение:

Раскроем скобки в уравнении \( (5x - 3)(5x + 3) - (4x - 5)^2 = 4x - 34 \).

1. Первое произведение — это разность квадратов: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).
2. \( (5x - 3)(5x + 3) = (5x)^2 - 3^2 = 25x^2 - 9 \)
3. Второе выражение — это квадрат разности: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).
4. \( (4x - 5)^2 = (4x)^2 - 2 · 4x · 5 + 5^2 = 16x^2 - 40x + 25 \)
5. Подставим раскрытые скобки обратно в уравнение:
6. \( (25x^2 - 9) - (16x^2 - 40x + 25) = 4x - 34 \)
7. Раскроем вторую скобку, меняя знаки на противоположные:
8. \( 25x^2 - 9 - 16x^2 + 40x - 25 = 4x - 34 \)
9. Приведём подобные слагаемые в левой части:
10. \( (25x^2 - 16x^2) + 40x + (-9 - 25) = 4x - 34 \)
11. \( 9x^2 + 40x - 34 = 4x - 34 \)
12. Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \):
13. \( 9x^2 + 40x - 4x - 34 + 34 = 0 \)
14. \( 9x^2 + 36x = 0 \)
15. Вынесем общий множитель \( 9x \) за скобки:
16. \( 9x(x + 4) = 0 \)
17. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
18. \( 9x = 0 \) или \( x + 4 = 0 \)
19. Решаем каждое из этих уравнений:
20. \( x = 0 \)
21. \( x = -4 \)

Ответ: \( x = 0, x = -4 \)