6. Решите неравенство x(x+5)(7-x) ≥ 0.

Решение:

Для решения неравенства \( x(x+5)(7-x) \geq 0 \) найдём нули функции \( f(x) = x(x+5)(7-x) \) и определим знаки интервалов.

1. Нули функции: \( x = 0 \), \( x = -5 \), \( 7-x = 0 \Rightarrow x = 7 \).
2. Отметим эти точки на числовой оси: -5, 0, 7.
3. Определим знаки интервалов, выбирая тестовые значения:
• При \( x < -5 \) (например, \( x = -6 \)): \( (-6)(-6+5)(7-(-6)) = (-6)(-1)(13) = +84 > 0 \).
• При \( -5 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( (-1)(-1+5)(7-(-1)) = (-1)(4)(8) = -32 < 0 \).
• При \( 0 < x < 7 \) (например, \( x = 1 \)): \( (1)(1+5)(7-1) = (1)(6)(6) = 36 > 0 \).
• При \( x > 7 \) (например, \( x = 8 \)): \( (8)(8+5)(7-8) = (8)(13)(-1) = -104 < 0 \).
4. Так как неравенство \( \geq 0 \), нам подходят интервалы, где знак "+", и сами нули функции.

Ответ: \( [-5; 0] \cup [7; \infty) \).