7. Третий член арифметической прогрессии (аn) равен 3, её разность равна -3. Найти сумму первых 30 членов данной геометрической прогрессии.

Решение:

В условии задачи есть противоречие: сказано, что это арифметическая прогрессия, но затем просят найти сумму членов геометрической прогрессии. Будем считать, что речь идет об арифметической прогрессии, так как даны её параметры (третий член и разность).

1. Известно, что третий член арифметической прогрессии \( a_3 = 3 \) и разность \( d = -3 \).
2. Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
3. Найдем первый член прогрессии \( a_1 \) используя \( a_3 \): \( a_3 = a_1 + (3-1)d \) \( \Rightarrow 3 = a_1 + 2(-3) \) \( \Rightarrow 3 = a_1 - 6 \) \( \Rightarrow a_1 = 9 \).
4. Формула суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \).
5. Найдем сумму первых 30 членов \( S_{30} \):
6. \( S_{30} = \frac{30}{2}(2 \cdot 9 + (30-1)(-3)) \)
7. \( S_{30} = 15(18 + 29(-3)) \)
8. \( S_{30} = 15(18 - 87) \)
9. \( S_{30} = 15(-69) \)
10. \( S_{30} = -1035 \).

Ответ: -1035.