6. Решить неравенство: \(27^x < 9^{x^2-1}\).

Решение:

Приведём обе части неравенства \(27^x < 9^{x^2-1}\) к одному основанию.

1. Представим \(27\) как \(3^3\) и \(9\) как \(3^2\): \((3^3)^x < (3^2)^{x^2-1}\).
2. Используем свойство степени \((a^m)^n = a^{mn}\): \(3^{3x} < 3^{2(x^2-1)}\).
3. Так как основание \(3 > 1\), сохраняем направление неравенства при сравнении показателей степеней: \(3x < 2(x^2-1)\).
4. Раскроем скобки: \(3x < 2x^2 - 2\).
5. Перенесём все члены в одну сторону: \(0 < 2x^2 - 3x - 2\).
6. Решим квадратное неравенство \(2x^2 - 3x - 2 > 0\). Найдём корни соответствующего квадратного уравнения \(2x^2 - 3x - 2 = 0\): \(D = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25\). \(x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}\). \(x_1 = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2\), \(x_2 = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5\).
7. Парабола \(y = 2x^2 - 3x - 2\) ветвями вверх. Неравенство \(> 0\) выполняется вне корней.

Ответ: \( x < -0.5 \text{ или } x > 2 \).