10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(y = \frac{1}{2}x^2 + 3x + 5\) на отрезке \([2; 5]\).

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции \(y = \frac{1}{2}x^2 + 3x + 5\) на отрезке \([2; 5]\), нужно вычислить значения функции в критических точках (если они попадают в отрезок) и на концах отрезка.

1. Находим производную функции: \(y' = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}x^2 + 3x + 5) = \frac{1}{2} · 2x + 3 = x + 3\).
2. Находим критические точки: Приравниваем производную к нулю: \(y' = 0 \implies x + 3 = 0 \implies x = -3\).
3. Проверяем попадание критической точки в отрезок: Точка \(x = -3\) не принадлежит отрезку \([2; 5]\), поэтому мы её не рассматриваем.
4. Вычисляем значения функции на концах отрезка:
   • При \(x = 2\): \(y(2) = \frac{1}{2}(2)^2 + 3(2) + 5 = \frac{1}{2}(4) + 6 + 5 = 2 + 6 + 5 = 13\).
   • При \(x = 5\): \(y(5) = \frac{1}{2}(5)^2 + 3(5) + 5 = \frac{1}{2}(25) + 15 + 5 = 12.5 + 15 + 5 = 32.5\).
5. Определяем наибольшее и наименьшее значения: Сравниваем полученные значения: \(13\) и \(32.5\). Наименьшее значение равно \(13\), наибольшее — \(32.5\).

Ответ: Наименьшее значение функции равно 13, наибольшее — 32.5.