6. Правильный икосаэдр с ребром 1 разрезали по нескольким рёбрам и развернули на плоскость одним куском так, что грани не перекрываются и никакие две грани не соприкасаются по отрезку, если они не остались склеены по нему. Чему может быть равен периметр развёртки? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

У икосаэдра 20 треугольных граней, поэтому суммарная длина всех сторон граней равна 60. Каждое неразрезанное ребро является внутренней общей стороной двух граней и уменьшает периметр развёртки на 2. Следовательно, если оставлено склеенными по рёбрам k пар граней, периметр равен 60 − 2k. Чтобы перечислить возможные значения, нужно определить, какие количества рёбер могут образовать связный плоский развёрнутый кусок без наложений; это требует проверки допустимых развёрток икосаэдра, а не только подсчёта сторон. Полный перечень без такой проверки привести нельзя.