6. Площадь прямоугольного треугольника равна 512√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник \( ABC \), где \( \angle C = 90° \). Пусть \( \angle A = 60° \). Тогда \( \angle B = 180° - 90° - 60° = 30° \).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{1}{2} ab \), где \( a \) и \( b \) — катеты.

\( S = 512\sqrt{3} \).

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы: \( a = \frac{c}{2} \). Катет, противолежащий углу 60°, равен \( b = a\sqrt{3} \) или \( b = \frac{c\sqrt{3}}{2} \).

Пусть \( a \) — катет, противолежащий углу \( A = 60° \), а \( b \) — катет, противолежащий углу \( B = 30° \). Тогда \( a \) — искомый катет, прилежащий к углу 60°.

\( a = \frac{c}{2} \), \( b = a\sqrt{3} = \frac{c\sqrt{3}}{2} \).

Площадь \( S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{2} \cdot \frac{c\sqrt{3}}{2} = \frac{c^2\sqrt{3}}{8} \).

\( 512\sqrt{3} = \frac{c^2\sqrt{3}}{8} \)

\( 512 = \frac{c^2}{8} \)

\( c^2 = 512 \cdot 8 = 4096 \)

\( c = \sqrt{4096} = 64 \).

Гипотенуза \( c = 64 \).

Искомый катет, прилежащий к углу 60°, это катет \( a \), противолежащий углу 30°.

\( a = \frac{c}{2} = \frac{64}{2} = 32 \).

Проверим: \( b = a\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \). Площадь \( S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 32\sqrt{3} = 16 \cdot 32\sqrt{3} = 512\sqrt{3} \). Верно.

Катет, прилежащий к углу 60°, это катет \( a \).

Ответ: 32