6. Найти неизвестные углы треугольника МОК, если <М =124°, а угол <О в 5 раз меньше внешнего угла при вершине К.

Задание 6

Дано:

• Треугольник МОК.


• \( \angle М = 124^\circ \).


• \( \angle О = \frac{1}{5} \angle \text{внешн. K} \).

Найти: углы \( \angle МОК \), \( \angle ОMK \), \( \angle OKM \).

Решение:

1. Сумма углов треугольника равна 180°.




• \( \angle М + \angle О + \angle K = 180^\circ \).


• \( 124^\circ + \angle О + \angle K = 180^\circ \).


• \( \angle О + \angle K = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ \).




2. Внешний угол при вершине К и внутренний угол \( \angle K \) являются смежными, их сумма равна 180°.




• \( \angle \text{внешн. K} = 180^\circ - \angle K \).




3. Подставим это в условие \( \angle О = \frac{1}{5} \angle \text{внешн. K} \):




• \( \angle О = \frac{1}{5} (180^\circ - \angle K) \).




4. Теперь у нас есть система из двух уравнений:




• 1) \( \angle О + \angle K = 56^\circ \)


• 2) \( \angle О = \frac{1}{5} (180^\circ - \angle K) \)




5. Подставим второе уравнение в первое:




• \( \frac{1}{5} (180^\circ - \angle K) + \angle K = 56^\circ \)


• Умножим все на 5:


• \( 180^\circ - \angle K + 5\angle K = 280^\circ \)


• \( 4\angle K = 280^\circ - 180^\circ \)


• \( 4\angle K = 100^\circ \)


• \( \angle K = \frac{100^\circ}{4} = 25^\circ \).




6. Найдем \( \angle О \):




• \( \angle О = 56^\circ - \angle K = 56^\circ - 25^\circ = 31^\circ \).




7. Теперь мы можем найти внешний угол при вершине К, чтобы проверить условие:




• \( \angle \text{внешн. K} = 180^\circ - 25^\circ = 155^\circ \).


• \( \angle О = \frac{1}{5} \cdot 155^\circ = 31^\circ \). Условие выполняется.




8. Углы треугольника МОК: \( \angle М = 124^\circ \), \( \angle О = 31^\circ \), \( \angle K = 25^\circ \).

Ответ: Углы треугольника МОК равны 124°, 31°, 25°.