6. Найдите значение выражения: x2 х² + 2xy : X x2 -42 при х = 4-2√5, y = 8-√5

Решение:

Сначала упростим выражение, выполнив деление дробей:

\( \frac{x^2}{x^2 + 2xy} : \frac{x}{x^2 - 4y^2} = \frac{x^2}{x(x + 2y)} \cdot \frac{(x-2y)(x+2y)}{x} \)

Сократим одинаковые множители:

\( \frac{x^2}{x(x + 2y)} \cdot \frac{(x-2y)(x+2y)}{x} = \frac{x}{x+2y} \cdot \frac{(x-2y)(x+2y)}{x} = \frac{x-2y}{1} \cdot \frac{x+2y}{x+2y} = x - 2y \)

Теперь подставим значения \( x = 4-2\sqrt{5} \) и \( y = 8-\sqrt{5} \):

\( x - 2y = (4 - 2\sqrt{5}) - 2(8 - \sqrt{5}) \)

Раскроем скобки:

\( 4 - 2\sqrt{5} - 16 + 2\sqrt{5} \)

Сгруппируем подобные слагаемые:

\( (4 - 16) + (-2\sqrt{5} + 2\sqrt{5}) \)

\( -12 + 0 = -12 \)

Ответ: -12