6. Найдите значение выражения: x² ------- x² + 2xy : x ------- x² - 4y² при х = 4-2√5, y = 8-√5

Решение:

Сначала упростим выражение, а затем подставим значения \( x \) и \( y \).

1. Разделим первое дробь на вторую, умножив первую дробь на обратную вторую:
\[ \frac{x^2}{x^2+2xy} \cdot \frac{x^2-4y^2}{x} \]
2. Разложим знаменатель первой дроби и числитель второй дроби на множители:
\[ \frac{x^2}{x(x+2y)} \cdot \frac{(x-2y)(x+2y)}{x} \]
3. Сократим одинаковые множители:
\[ \frac{x}{x+2y} \cdot \frac{(x-2y)(x+2y)}{x} = \frac{x \cdot (x-2y)(x+2y)}{x \cdot (x+2y) \cdot x} = \frac{x-2y}{x} \]
4. Теперь подставим значения \( x = 4-2\sqrt{5} \) и \( y = 8-\sqrt{5} \).
5. Сначала найдём \( 2y \): \( 2y = 2(8-\sqrt{5}) = 16 - 2\sqrt{5} \).
6. Подставим \( x \) и \( 2y \) в упрощённое выражение \( \frac{x-2y}{x} \):
\[ \frac{(4-2\sqrt{5}) - (16-2\sqrt{5})}{4-2\sqrt{5}} = \frac{4 - 2\sqrt{5} - 16 + 2\sqrt{5}}{4-2\sqrt{5}} = \frac{-12}{4-2\sqrt{5}} \]
7. Вынесем общий множитель 2 в знаменателе:
\[ \frac{-12}{2(2-\sqrt{5})} = \frac{-6}{2-\sqrt{5}} \]
8. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 2+\sqrt{5} \), чтобы избавиться от радикала в знаменателе:
\[ \frac{-6(2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} = \frac{-12 - 6\sqrt{5}}{2^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{-12 - 6\sqrt{5}}{4 - 5} = \frac{-12 - 6\sqrt{5}}{-1} = 12 + 6\sqrt{5} \]

Ответ: 12 + 6√5