6. Найдите значение выражения: (x^2 / (x^2 + 2xy)) : (x / (x^2 - 4y^2)) при x = 4-2√5, y = 8-√5

Решение:

Сначала упростим выражение:

\[ \frac{x^2}{x^2 + 2xy} : \frac{x}{x^2 - 4y^2} = \frac{x^2}{x(x + 2y)} \times \frac{(x - 2y)(x + 2y)}{x} = \frac{x^2(x - 2y)(x + 2y)}{x^2(x + 2y)} \]

Сократим \( x^2 \) и \( (x + 2y) \), если \( x \neq 0 \) и \( x + 2y \neq 0 \):

\[ x - 2y \]

Теперь подставим значения \( x = 4 - 2\sqrt{5} \) и \( y = 8 - \sqrt{5} \):

\[ x - 2y = (4 - 2\sqrt{5}) - 2(8 - \sqrt{5}) \]

\[ = 4 - 2\sqrt{5} - 16 + 2\sqrt{5} \]

\[ = 4 - 16 = -12 \]

Проверим условия \( x \neq 0 \) и \( x + 2y \neq 0 \):

\( x = 4 - 2\sqrt{5} \neq 0 \).

\[ x + 2y = (4 - 2\sqrt{5}) + 2(8 - \sqrt{5}) = 4 - 2\sqrt{5} + 16 - 2\sqrt{5} = 20 - 4\sqrt{5} \neq 0 \].

Ответ: -12