6. Найдите точки минимума функции у = х³ - 3x² + 2

Решение:

Чтобы найти точки минимума функции, нужно найти её производную, приравнять к нулю и определить знак производной.

1. Найдём производную функции \( y' \):

\( y' = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x \)

2. Приравняем производную к нулю:

\( 3x^2 - 6x = 0 \)

\( 3x(x - 2) = 0 \)

Отсюда \( x = 0 \) или \( x = 2 \).

3. Определим знаки производной на интервалах:

— При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( y' = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \) (функция возрастает).

— При \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \( y' = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \) (функция убывает).

— При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( y' = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \) (функция возрастает).

Точка \( x = 2 \) является точкой минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: \( x = 2 \).