6. Найдите оставшиеся углы вписанного в окружность четырёхугольника, если два его угла равны 110° и 40°. В ответе укажите градусную меру большего из них.

Решение:

Вписанный четырёхугольник обладает свойством, что сумма противоположных углов равна 180°.

1. Пусть \( \alpha \) и \( \gamma \) — противоположные углы, и \( \beta \) и \( \delta \) — другие противоположные углы.
2. Дано два угла: 110° и 40°.
3. Если 110° и 40° — соседние углы, то один из них (110°) должен быть противоположным углу, который равен \( 180° - 110° = 70° \). Второй оставшийся угол будет \( 180° - 40° = 140° \).
4. Если 110° и 40° — противоположные углы, то их сумма должна быть 180°. \( 110° + 40° = 150° \), что не равно 180°. Следовательно, эти углы не являются противоположными.
5. Значит, 110° и 40° — это два угла четырёхугольника. Пусть \( \angle A = 110° \) и \( \angle B = 40° \).
6. Противоположный угол к \( \angle A \) равен \( \angle C = 180° - 110° = 70° \).
7. Противоположный угол к \( \angle B \) равен \( \angle D = 180° - 40° = 140° \).
8. Оставшиеся углы — 70° и 140°.
9. Больший из них — 140°.

Ответ: 140 градусов.