5. Из точки А, лежащей на окружности с центром О, проведены две хорды АВ и АС, каждая из которых имеет длину, равную радиусу окружности. Найдите угол ВОС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Если хорда равна радиусу, то треугольник, образованный этой хордой и двумя радиусами, является равносторонним.

1. Треугольники \( \triangle ABO \) и \( \triangle ACO \) — равносторонние, так как \( AB = BO = AO = R \) и \( AC = CO = AO = R \).
2. Углы в равностороннем треугольнике равны 60°. Значит, \( \angle BAO = 60° \) и \( \angle CAO = 60° \).
3. \( \angle BOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу BC. Угол \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. \( \angle BAC = \angle BAO + \angle CAO = 60° + 60° = 120° \).
4. Центральный угол \( \angle BOC \) в два раза больше вписанного \( \angle BAC \), опирающегося на ту же дугу. \( \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 120° = 240° \).
5. Однако, на рисунке угол \( BOC \) выглядит как острый. Вероятно, имеется в виду угол \( BOC \), образованный хордами \( AB \) и \( AC \) от точки \( A \), а не дуга, покрывающая всю окружность. Если \( AB = R \) и \( AC = R \), то \( \triangle ABO \) и \( \triangle ACO \) равносторонние. Тогда \( \angle BOA = 60° \) и \( \angle COA = 60° \).
6. Угол \( \angle BOC = \angle BOA + \angle COA = 60° + 60° = 120° \).

Ответ: 120 градусов.