6. Моторная лодка прошла против течения реки 117 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость моторной лодки в неподвижной воде (км/ч). Скорость течения реки равна 2 км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v - 2 \) км/ч.

Скорость лодки по течению: \( v + 2 \) км/ч.

Время движения против течения: \( t_1 = \frac{117}{v - 2} \) часов.

Время движения по течению: \( t_2 = \frac{117}{v + 2} \) часов.

По условию, на обратный путь (по течению) было затрачено на 4 часа меньше:

\[ t_1 - t_2 = 4 \]

\[ \frac{117}{v - 2} - \frac{117}{v + 2} = 4 \]

Умножим обе части уравнения на \( (v - 2)(v + 2) \):

\[ 117(v + 2) - 117(v - 2) = 4(v - 2)(v + 2) \]

\[ 117v + 234 - 117v + 234 = 4(v^2 - 4) \]

\[ 468 = 4v^2 - 16 \]

\[ 4v^2 = 468 + 16 \]

\[ 4v^2 = 484 \]

\[ v^2 = \frac{484}{4} \]

\[ v^2 = 121 \]

\[ v = \sqrt{121} = 11 \]

Скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. (Отрицательный корень \( v = -11 \) не имеет физического смысла).

Ответ: 11 км/ч.