6. Докажите, что при любом значении р уравнение х² + px + p - 1 = 0 имеет хотя бы один корень.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле \( D = b^2 - 4ac \). В данном уравнении \( a=1 \), \( b=p \), \( c=p-1 \).
2. Шаг 2: Вычислим дискриминант: \( D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p-1) = p^2 - 4p + 4 \).
3. Шаг 3: Заметим, что полученное выражение является полным квадратом: \( p^2 - 4p + 4 = (p-2)^2 \).
4. Шаг 4: Так как квадрат любого действительного числа \( (p-2)^2 \) всегда больше или равен нулю ( \( (p-2)^2 \ge 0 \) ), то дискриминант \( D \ge 0 \) при любом значении \( p \).
5. Шаг 5: Поскольку дискриминант неотрицателен, квадратное уравнение \( x^2 + px + p - 1 = 0 \) имеет хотя бы один действительный корень при любом значении \( p \).

Ответ: Доказано.