4. Докажите тождество $$\frac{3}{2a-3} - \frac{8a^3-18a}{4a^2+9} \cdot (\frac{2a}{4a^2-12a+9} - \frac{3}{4a^2-9}) = -1$$.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Разложим знаменатели на множители: \( 4a^2 - 9 = (2a-3)(2a+3) \) и \( 4a^2 - 12a + 9 = (2a-3)^2 \).
2. Шаг 2: Приведем дробь \( \frac{8a^3-18a}{4a^2+9} \) к более простому виду, вынеся \( 2a \) за скобки в числителе: \( \frac{2a(4a^2-9)}{4a^2+9} = \frac{2a(2a-3)(2a+3)}{4a^2+9} \).
3. Шаг 3: Приведем к общему знаменателю выражения в скобках: \( \frac{2a}{(2a-3)^2} - \frac{3}{(2a-3)(2a+3)} = \frac{2a(2a+3) - 3(2a-3)}{(2a-3)^2(2a+3)} = \frac{4a^2+6a - 6a+9}{(2a-3)^2(2a+3)} = \frac{4a^2+9}{(2a-3)^2(2a+3)} \).
4. Шаг 4: Теперь подставим преобразованные выражения обратно в исходное: \( \frac{3}{2a-3} - \frac{2a(2a-3)(2a+3)}{4a^2+9} \cdot \frac{4a^2+9}{(2a-3)^2(2a+3)} \).
5. Шаг 5: Сократим дробь: \( \frac{3}{2a-3} - \frac{2a(2a-3)}{(2a-3)^2} = \frac{3}{2a-3} - \frac{2a}{2a-3} \).
6. Шаг 6: Приведем к общему знаменателю: \( \frac{3 - 2a}{2a-3} = \frac{-(2a-3)}{2a-3} = -1 \).

Ответ: Тождество доказано.