6. Дано: ABCD — трапеция (рис. 6). Найти: AD, SABCD

Для решения этой задачи нам понадобится дополнительная информация, которой нет на изображении.

На рисунке 6 изображена трапеция ABCD. Известно, что BC = 3, CD = 4, ∠D = 45°, ∠A = 60°. Проведены высоты BF и CE к основанию AD.

Найдем требуемые величины:

1. AD: Чтобы найти AD, нам нужно найти длины отрезков AE и ED.
• В прямоугольном треугольнике CDE, ∠D = 45°, CD = 4. Так как это прямоугольный треугольник с углом 45°, то он равнобедренный. $$CE = ED = CD \times \text{sin}(45°) = 4 \times \frac{\text{sqrt}(2)}{2} = 2\text{sqrt}(2)$$.
• В прямоугольном треугольнике ABF, ∠A = 60°, BF = CE = $$2\text{sqrt}(2)$$. $$AB = \frac{BF}{\text{sin}(60°)} = \frac{2\text{sqrt}(2)}{\text{sqrt}(3)/2} = \frac{4\text{sqrt}(2)}{\text{sqrt}(3)}$$.
• $$AE = \frac{AB}{\text{tg}(60°)} = \frac{4\text{sqrt}(2)/\text{sqrt}(3)}{ \text{sqrt}(3) } = \frac{4\text{sqrt}(2)}{3}$$.
• $$AD = AE + EF + ED$$. Так как BFCE - прямоугольник, то $$EF = BC = 3$$.
• $$AD = \frac{4\text{sqrt}(2)}{3} + 3 + 2\text{sqrt}(2) = 3 + \text{sqrt}(2) (\frac{4}{3} + 2) = 3 + \text{sqrt}(2) (\frac{4+6}{3}) = 3 + \frac{10\text{sqrt}(2)}{3}$$.
2. SABCD: Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Основания: BC = 3, AD = $$3 + \frac{10\text{sqrt}(2)}{3}$$. Высота: $$h = CE = 2\text{sqrt}(2)$$.
• $$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \times h = \frac{3 + (3 + \frac{10\text{sqrt}(2)}{3})}{2} \times 2\text{sqrt}(2) = \frac{6 + \frac{10\text{sqrt}(2)}{3}}{2} \times 2\text{sqrt}(2) = (6 + \frac{10\text{sqrt}(2)}{3}) \times \text{sqrt}(2) = 6\text{sqrt}(2) + \frac{10 \times 2}{3} = 6\text{sqrt}(2) + \frac{20}{3}$$.

Ответ:

• $$AD = 3 + \frac{10\text{sqrt}(2)}{3}$$
• $$S_{ABCD} = 6\text{sqrt}(2) + \frac{20}{3}$$