5. Дано: ABCD — прямоугольник (рис. 5). Найти: ∠CDE, SABO, SBCO

Для решения этой задачи нам понадобится дополнительная информация, которой нет на изображении.

На рисунке 5 изображен прямоугольник ABCD, в котором проведена диагональ AC и отрезок BE, перпендикулярный AC (BE ⊥ AC). Известно, что ∠BAC = 30° и сторона AB = 8.

Найдем требуемые величины:

1. ∠CDE: В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому CD = AB = 8. Угол ∠CDE является углом прямоугольника, который равен 90°.
2. SABO: ABCD — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Точка O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Треугольники ABO и CDO равны. Треугольники ADO и BCO равны. Все четыре треугольника, на которые диагонали делят прямоугольник, равновелики, то есть имеют одинаковую площадь. Площадь прямоугольника $$S_{ABCD} = AB \times BC$$. Чтобы найти BC, рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. ∠BAC = 30°, AB = 8. $$BC = AB \times \text{tg}(30°) = 8 \times \frac{1}{\text{sqrt}(3)} = \frac{8}{\text{sqrt}(3)}$$. $$S_{ABCD} = 8 \times \frac{8}{\text{sqrt}(3)} = \frac{64}{\text{sqrt}(3)}$$. Площадь треугольника SABO будет равна $$S_{ABCD} / 4$$. $$S_{ABO} = \frac{1}{4} \times \frac{64}{\text{sqrt}(3)} = \frac{16}{\text{sqrt}(3)}$$.
3. SBCO: Аналогично, $$S_{BCO} = S_{ABCD} / 4 = \frac{16}{\text{sqrt}(3)}$$.

Ответ:

• ∠CDE = 90°
• $$S_{ABO} = \frac{16}{\text{sqrt}(3)}$$
• $$S_{BCO} = \frac{16}{\text{sqrt}(3)}$$