6. Часть С. При выполнении заданий этой части запишите подробное решение. 1. В прямоугольном треугольнике ABC ( \( \angle C = 90^{\circ} \) ) биссектрисы CD и AE пересекаются в точке О. \( \angle AOC = 105^{\circ} \). Найдите меньший острый угол треугольника ABC

Решение:

Дано:

Прямоугольный \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^{\circ} \).

CD — биссектриса \( \angle C \).

AE — биссектриса \( \angle A \).

CD и AE пересекаются в точке O.

\( \angle AOC = 105^{\circ} \).

Найти:

Меньший острый угол \( \triangle ABC \) (т.е. \( \angle B \) или \( \angle A \)).

Ход решения:

1. Рассмотрим \( \triangle AOC \). Сумма углов в \( \triangle AOC \) равна \( 180^{\circ} \). Мы знаем \( \angle AOC = 105^{\circ} \).
2. Так как CD — биссектриса \( \angle C \), то \( \angle ACD = \angle BCD = \frac{\angle C}{2} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).
3. Так как AE — биссектриса \( \angle A \), то \( \angle CAE = \angle EAB = \frac{\angle A}{2} \). Обозначим \( \angle A = 2\alpha \), тогда \( \angle CAE = \alpha \).
4. В \( \triangle AOC \) имеем углы: \( \angle AOC = 105^{\circ} \), \( \angle OAC = \angle CAE = \alpha \), \( \angle OCA = \angle ACD = 45^{\circ} \).
5. Сумма углов в \( \triangle AOC \) равна: \( \angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} \) \( \Rightarrow 105^{\circ} + \alpha + 45^{\circ} = 180^{\circ} \).
6. Найдем \( \alpha \): \( 150^{\circ} + \alpha = 180^{\circ} \) \( \Rightarrow \alpha = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \).
7. Таким образом, \( \angle A = 2\alpha = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
8. В \( \triangle ABC \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \): \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).
9. Подставим известные значения: \( 60^{\circ} + \angle B + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
10. Найдем \( \angle B \): \( 150^{\circ} + \angle B = 180^{\circ} \) \( \Rightarrow \angle B = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \).
11. Сравниваем острые углы \( \angle A = 60^{\circ} \) и \( \angle B = 30^{\circ} \). Меньший острый угол — \( \angle B \).

Ответ: 30°