6. Биссектрисы углов В и С треугольника ABC пересекаются в точке К. Найдите ∠BKC, если ∠B = 40°, а ∠C = 80°.

Решение:

Сначала найдем \( \angle A \) в треугольнике \( ABC \):

\( \angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 80^{\circ} = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

\( BK \) — биссектриса \( \angle B \), поэтому \( \angle KBC = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \times 40^{\circ} = 20^{\circ} \).

\( CK \) — биссектриса \( \angle C \), поэтому \( \angle KCB = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \times 80^{\circ} = 40^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( BKC \). Сумма углов в \( \triangle BKC \) равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle BKC + \angle KBC + \angle KCB = 180^{\circ} \)

\( \angle BKC + 20^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle BKC + 60^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle BKC = 180^{\circ} - 60^{\circ} \)

\( \angle BKC = 120^{\circ} \)

Ответ: 120°.