-6 = -9/(4+x) + 4x

Решение:

1. Перенесём \( 4x \) в левую часть: \( -6 - 4x = -\frac{9}{4+x} \)
2. Умножим обе части на \( -1 \): \( 6 + 4x = \frac{9}{4+x} \)
3. Приведём левую часть к общему знаменателю \( 4+x \): \( \frac{(6+4x)(4+x)}{4+x} = \frac{9}{4+x} \)
4. Умножим обе части на \( 4+x \), предполагая, что \( 4+x \neq 0 \): \( (6+4x)(4+x) = 9 \)
5. Раскроем скобки: \( 24 + 6x + 16x + 4x^2 = 9 \)
6. Приведём подобные слагаемые и перенесём все члены в левую часть: \( 4x^2 + 22x + 24 - 9 = 0 \)
7. Получим квадратное уравнение: \( 4x^2 + 22x + 15 = 0 \)
8. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 484 - 240 = 244 \)
9. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня: \( x = \frac{-22 \pm \sqrt{244}}{2 \cdot 4} = \frac{-22 \pm 2\sqrt{61}}{8} = \frac{-11 \pm \sqrt{61}}{4} \)
10. Проверим условие \( 4+x \neq 0 \). Для \( x = \frac{-11 + \sqrt{61}}{4} \), \( 4+x = 4 + \frac{-11 + \sqrt{61}}{4} = \frac{16 - 11 + \sqrt{61}}{4} = \frac{5 + \sqrt{61}}{4} \neq 0 \). Для \( x = \frac{-11 - \sqrt{61}}{4} \), \( 4+x = 4 + \frac{-11 - \sqrt{61}}{4} = \frac{16 - 11 - \sqrt{61}}{4} = \frac{5 - \sqrt{61}}{4} \neq 0 \) (так как \( \sqrt{61} \approx 7.8 \)).

Ответ: \( x = \frac{-11 \pm \sqrt{61}}{4} \).