6. (36) Прямоугольная трапеция с большим основанием 8 см и боковыми сторонами 3 см и 5 см вращается вокруг большего основания. Найдите объём тела вращения.

Решение:

• Тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции вокруг большего основания, состоит из цилиндра и конуса.
• Большее основание трапеции \( a = 8 \) см.
• Меньшее основание трапеции \( b \).
• Боковые стороны: \( c = 3 \) см и \( d = 5 \) см.
• Пусть \( h \) — высота трапеции. Проведем высоту из вершины с меньшим основанием к большему основанию.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большей боковой стороной (5 см), высотой (h) и отрезком большего основания. Длина этого отрезка равна \( a - b \) или \( b - a \) (если высота опущена из другой вершины).
• В данном случае, так как трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон является высотой. Однако, если бы это было так, то вторая боковая сторона (3 см) была бы равна \( a - b \) или \( b - a \), что не соответствует данным.
• Предположим, что меньшее основание равно \( x \). Тогда отрезок большего основания, прилежащий к боковой стороне 5 см, будет \( 8 - x \).
• Высота трапеции \( h \) и отрезок \( 8-x \) образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой 5. \( h^2 + (8-x)^2 = 5^2 \).
• Отрезок большего основания, прилежащий к боковой стороне 3 см, будет равен \( 8 - (8-x) = x \) (если 3 см - это высота) или \( 8-x - 3 \) (если 3 см - наклонная сторона).
• Рассмотрим случай, когда 3 см - это высота. Тогда \( h = 3 \) см.
• В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 5 см и катетом 3 см, второй катет равен \( \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \) см.
• Этот катет является отрезком большего основания.
• Если большее основание 8 см, а этот отрезок 4 см, то меньшее основание \( b = 8 - 4 = 4 \) см.
• В этом случае высота равна 3 см.
• Тело вращения состоит из:
• 1. Цилиндр с радиусом \( r = h = 3 \) см и высотой, равной меньшему основанию \( H_{цилиндра} = b = 4 \) см.
• 2. Два конуса, основания которых совпадают с меньшим основанием трапеции, а высоты являются отрезками большего основания.
• Общая высота большего основания - 8 см. Из них 4 см - это меньшее основание. Остается \( 8 - 4 = 4 \) см, которые разбиваются на два отрезка, являющихся высотами конусов.
• В данном случае, так как трапеция прямоугольная, и мы вращаем вокруг большего основания, то меньшее основание (4 см) будет высотой цилиндра, а отрезок большего основания (4 см) будет высотой конуса.
• Объем цилиндра: \( V_{цилиндра} = \pi r^2 H_{цилиндра} = \pi (3^2) \cdot 4 = \pi \cdot 9 \cdot 4 = 36 \pi \) см³.
• Объем конуса: \( V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 H_{конуса} = \frac{1}{3} \pi (3^2) \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12 \pi \) см³.
• Однако, если трапеция прямоугольная, то одна боковая сторона перпендикулярна основаниям (это высота), а другая наклонная.
• Пусть большее основание = 8. Пусть меньшее основание = x. Высота = h. Наклонная = 5. Другая боковая сторона = 3.
• Если 3 - это высота, то h = 3. Тогда отрезок большего основания, прилежащий к наклонной стороне 5, равен 5-3=2. Тогда x = 8-2 = 6.
• V_цилиндра = \(\pi \cdot 3^2 \cdot 6 = 54\pi\)
• V_конуса = \(\frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 2 = 6\pi\)
• Сумма = \( 54\pi + 6\pi = 60\pi \).
• Проверим, если 5 - это высота, h = 5. Отрезок большего основания = \(\sqrt{5^2-3^2} = 4\). Тогда x = 8-4 = 4.
• V_цилиндра = \(\pi \cdot 5^2 \cdot 4 = 100\pi\)
• V_конуса = \(\frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 4 = \frac{100}{3}\pi\)
• Сумма = \( 100\pi + \frac{100}{3}\pi = \frac{400}{3}\pi \).
• Вернемся к первому случаю: высота 3, отрезок 4, меньшее основание 4.
• В этом случае тело вращения состоит из цилиндра высотой 4 и радиусом 3, и конуса высотой 4 и радиусом 3.
• Объем цилиндра: \( V_{цилиндра} = \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 36\pi \)
• Объем конуса: \( V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 12\pi \)
• Общий объем = \( 36\pi + 12\pi = 48\pi \)
• Проверим данные: большее основание 8, боковые стороны 3 и 5. Пусть высота h.
• Отрезок под наклонной стороной 5 равен x, тогда \( h^2 + x^2 = 5^2 \).
• Отрезок под боковой стороной 3 равен \( 8-x \). Но так как это прямоугольная трапеция, то 3 - это высота, если она перпендикулярна основаниям.
• Если 3 - высота, то \( h = 3 \). Тогда \( 3^2 + x^2 = 5^2 \Rightarrow 9 + x^2 = 25 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4 \).
• Значит, большее основание (8) состоит из высоты (3) и отрезка (4). Это неверно.
• Более вероятный сценарий: одна боковая сторона является высотой.
• Пусть высота \( h = 3 \) см. Тогда она перпендикулярна основаниям.
• Другая боковая сторона \( l = 5 \) см.
• Большее основание \( a = 8 \) см.
• Пусть меньшее основание \( b \).
• Из вершины меньшего основания опускаем высоту. Получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой \( l = 5 \) и катетом \( h = 3 \).
• Второй катет этого треугольника равен \( \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \) см.
• Этот катет является разностью оснований: \( a - b = 4 \) см.
• \( 8 - b = 4 \Rightarrow b = 4 \) см.
• Тело вращения состоит из:
• 1. Цилиндр с радиусом, равным высоте трапеции \( r = h = 3 \) см, и высотой, равной меньшему основанию \( H_{цилиндра} = b = 4 \) см.
• 2. Конус с радиусом, равным высоте трапеции \( r = h = 3 \) см, и высотой, равной разности оснований \( H_{конуса} = a - b = 4 \) см.
• Объем цилиндра: \( V_{цилиндра} = \pi r^2 H_{цилиндра} = \pi (3^2) \cdot 4 = \pi \cdot 9 \cdot 4 = 36\pi \) см³.
• Объем конуса: \( V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 H_{конуса} = \frac{1}{3} \pi (3^2) \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \) см³.
• Общий объем тела вращения: \( V = V_{цилиндра} + V_{конуса} = 36\pi + 12\pi = 48\pi \) см³.

Ответ: \( 48\pi \) см³