58. Вычислите: 2 1/3 * (5/8 - 8/3) + 2 1/7 * 3/7

Решение:

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: \( 2 \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \) и \( 2 \frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7} \).
2. Выполним вычитание в первой скобке: \( \frac{5}{8} - \frac{8}{3} \). Наименьший общий знаменатель для 8 и 3 равен 24. \( \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{8 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{15}{24} - \frac{64}{24} = -\frac{49}{24} \).
3. Выполним умножение: \( \frac{7}{3} \cdot \left(-\frac{49}{24}\right) = -\frac{7 \cdot 49}{3 \cdot 24} = -\frac{343}{72} \).
4. Выполним умножение второй части: \( \frac{15}{7} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15 \cdot 3}{7 \cdot 7} = \frac{45}{49} \).
5. Теперь сложим результаты: \( -\frac{343}{72} + \frac{45}{49} \).
6. Найдем общий знаменатель для 72 и 49. Наименьший общий знаменатель равен \( 72 \cdot 49 = 3528 \).
7. \( -\frac{343 \cdot 49}{72 \cdot 49} + \frac{45 \cdot 72}{49 \cdot 72} = -\frac{16807}{3528} + \frac{3240}{3528} \).
8. \( \frac{-16807 + 3240}{3528} = -\frac{13567}{3528} \).
9. Проверим, можно ли сократить. Разделим числитель и знаменатель на 7: \( 13567 / 7 = 1938.14 \).
10. Разделим числитель и знаменатель на 3: \( 13567 / 3 \) не делится.
11. Попробуем найти НОД (13567, 3528).
12. 13567 = 7 * 1938 + 1
13. 3528 = 49 * 72
14. 72 = 2^3 * 3^2
15. 49 = 7^2
16. 13567 = 7 * 274 + 59
17. 13567 = 7 * 1938.14.
18. Попробуем разделить числитель и знаменатель на 49: \( 13567 / 49 = 276.87 \).
19. Попробуем разделить числитель и знаменатель на 72: \( 13567 / 72 = 188.43 \).
20. Дробь не сокращается.
21. Перепроверим вычисления.
22. \( \frac{5}{8} - \frac{8}{3} = \frac{15-64}{24} = -\frac{49}{24} \).
23. \( \frac{7}{3} \cdot -\frac{49}{24} = -\frac{343}{72} \).
24. \( \frac{15}{7} \cdot \frac{3}{7} = \frac{45}{49} \).
25. \( -\frac{343}{72} + \frac{45}{49} = \frac{-343 \times 49 + 45 \times 72}{72 \times 49} = \frac{-16807 + 3240}{3528} = -\frac{13567}{3528} \).
26. Число 13567 является простым.

Ответ: -13567/3528