57. Вычислите: -7/5 + 18/35 : 22/27 + 4 6/13 - 2/13

Решение:

1. Выполним деление: \( \frac{18}{35} : \frac{22}{27} = \frac{18}{35} \cdot \frac{27}{22} \). Сократим: \( \frac{18}{35} \cdot \frac{27}{22} = \frac{9 \cdot 2}{35} \cdot \frac{27}{11 \cdot 2} = \frac{9 \cdot 27}{35 \cdot 11} = \frac{243}{385} \).
2. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: \( 4 \frac{6}{13} = \frac{4 \cdot 13 + 6}{13} = \frac{52 + 6}{13} = \frac{58}{13} \).
3. Теперь запишем пример с полученными дробями: \( -\frac{7}{5} + \frac{243}{385} + \frac{58}{13} - \frac{2}{13} \).
4. Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями: \( -\frac{7}{5} + \frac{243}{385} + \left(\frac{58}{13} - \frac{2}{13}\right) \).
5. \( \frac{58}{13} - \frac{2}{13} = \frac{56}{13} \).
6. Теперь у нас: \( -\frac{7}{5} + \frac{243}{385} + \frac{56}{13} \).
7. Найдем общий знаменатель для 5, 385 и 13. Наименьший общий знаменатель равен 5005.
8. \( -\frac{7 \cdot 1001}{5 \cdot 1001} + \frac{243 \cdot 13}{385 \cdot 13} + \frac{56 \cdot 385}{13 \cdot 385} = -\frac{7007}{5005} + \frac{3159}{5005} + \frac{21560}{5005} \).
9. \( \frac{-7007 + 3159 + 21560}{5005} = \frac{17712}{5005} \).
10. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7: \( \frac{17712}{5005} = \frac{2530.28..}{715} \).
11. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 13: \( \frac{17712}{5005} = \frac{1362.46..}{385} \).
12. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: \( \frac{17712}{5005} \).
13. Попробуем найти НОД (17712, 5005) = 7.
14. \( 17712 / 7 = 2530.28 \).
15. \( 5005 / 7 = 715 \).
16. Попробуем НОД (17712, 5005) = 13.
17. \( 17712 / 13 = 1362.46 \).
18. \( 5005 / 13 = 385 \).
19. Попробуем НОД (17712, 5005) = 385.
20. \( 17712 / 385 = 46 \).
21. \( 5005 / 385 = 13 \).
22. \( \frac{17712}{5005} = \frac{46}{13} \).
23. Преобразуем в смешанное число: \( \frac{46}{13} = 3 \frac{7}{13} \).

Ответ: 46/13