56. 1) В квадрате размером 10 × 10 клеток вычислены натуральные числа от 1 до 100, как показано на рисунке. Выбери внутри него любой квадрат размером 2 × 2 клетки и сравни суммы чисел, записанные по его диагоналям. Что замечаешь? Будут ли обладать этим же свойством суммы в любом другом квадрате размером 2 × 2 клетки? Обоснуй свой ответ. 2) Рассмотри теперь квадраты размером 3 × 3 клетки и найди в них группы из трёх чисел, суммы которых будут одинаковы.

1) Пусть в левом верхнем углу выбранного квадрата 2 × 2 стоит число \(n\). Тогда в нём записаны числа:

\(n,\ n+1,\ n+10,\ n+11\).

Сумма чисел на одной диагонали:

\(n+(n+11)=2n+11\).

Сумма чисел на другой диагонали:

\((n+1)+(n+10)=2n+11\).

Следовательно, суммы чисел на диагоналях всегда равны. Это свойство выполняется для любого квадрата 2 × 2, так как при переходе вправо число увеличивается на 1, а при переходе вниз — на 10.

2) В каждом квадрате 3 × 3 можно найти группы из трёх чисел с одинаковой суммой: это три числа в каждой строке, каждом столбце и на каждой диагонали, проходящей через центральную клетку. Например, для квадрата с числами от 1 до 33:

\(1+2+3=6\), \(11+12+13=36\), \(21+22+23=66\) — строки не дают одинаковых сумм, поэтому рассматриваем группы, симметричные относительно центрального числа.

Для любого квадрата 3 × 3 с центральным числом \(c\) три числа, расположенные по прямой через центр, имеют сумму \(3c\): крайние числа симметричны и в сумме дают \(2c\), а центральное равно \(c\). Например:

\(1+12+23=36\), \(2+12+22=36\), \(3+12+21=36\), \(11+12+13=36\).

Ответ: в квадрате 2 × 2 суммы по диагоналям всегда равны; в квадрате 3 × 3 равные суммы дают группы из трёх чисел, расположенные на линиях через центральную клетку.