52. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,95. Вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, равна 0,84. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г.

Решение:

Обозначим события:

• A: масса буханки меньше 810 г. $$P(A) = 0.95$$.
• B: масса буханки больше 790 г. $$P(B) = 0.84$$.

Нас интересует вероятность события C: масса буханки находится в интервале (790 г; 810 г), то есть $$790 < ext{масса} < 810$$.

Событие A означает, что масса $$\le 810$$. Однако, в условии сказано "меньше 810 г", что можно интерпретировать как $$< 810$$. Будем исходить из этого.

Событие B означает, что масса $$> 790$$.

Рассмотрим событие $$A \cup B$$. Это событие означает, что масса буханки меньше 810 г ИЛИ больше 790 г. То есть, масса буханки находится в интервале (790; 810), или равна 810, или равна 790. Но так как нас интересует строгий интервал, то $$A \cup B$$ покрывает все случаи, кроме тех, где масса $$\le 790$$ И масса $$\ge 810$$.

Вероятность того, что масса окажется меньше 810 г ($$P(A) = 0.95$$), означает, что масса может быть как меньше 790, так и между 790 и 810.

Вероятность того, что масса окажется больше 790 г ($$P(B) = 0.84$$), означает, что масса может быть как больше 810, так и между 790 и 810.

Событие, которое нас интересует (790 < масса < 810), является пересечением событий $$A$$ и $$B$$, если интерпретировать 'меньше 810' как $$\le 810$$ и 'больше 790' как $$\ge 790$$.

Однако, если мы используем строгие неравенства, то $$A$$ = {масса < 810} и $$B$$ = {масса > 790}.

Вероятность $$P(A ext{ или } B)$$ (то есть $$A extrm{ or } B$$) = $$P(A ext{ and } B)$$ (то есть $$A extrm{ and } B$$) + $$P(A ext{ and not } B)$$ + $$P( ext{not } A ext{ and } B)$$.

Используем вероятность объединения:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

В данном случае, событие "масса меньше 810 г" и "масса больше 790 г" не являются независимыми. Нам нужно найти $$P(A \cap B)$$, то есть вероятность того, что масса буханки одновременно меньше 810 г и больше 790 г.

Представим, что возможные массы буханки находятся в некотором диапазоне. Событие A ($$< 810$$) и событие B ($$> 790$$) в сумме должны покрывать все возможные значения массы, за исключением тех, которые лежат вне обоих интервалов. Но так как мы имеем дело с вероятностями, то,

Вероятность того, что масса окажется меньше 810 г ($$P(A) = 0.95$$) означает, что масса $$\le 810$$ (допуская, что 810 тоже входит).

Вероятность того, что масса окажется больше 790 г ($$P(B) = 0.84$$) означает, что масса $$\ge 790$$ (допуская, что 790 тоже входит).

Если мы ищем вероятность $$790 < ext{масса} < 810$$, то это значит, что масса должна удовлетворять обоим условиям одновременно.

Рассмотрим противоположные события:

• $$A'$$: масса $$\ge 810$$. $$P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.95 = 0.05$$.
• $$B'$$: масса $$\le 790$$. $$P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.84 = 0.16$$.

Мы ищем $$P(790 < ext{масса} < 810)$$.

Это равносильно $$1 - P( ext{масса} \le 790 ext{ или масса} \ge 810)$$.

То есть, $$1 - P(B' \cup A')$$.

Поскольку события $$A'$$ (масса $$\ge 810$$) и $$B'$$ (масса $$\le 790$$) не пересекаются (невозможно, чтобы масса была одновременно $$\ge 810$$ и $$\le 790$$), то $$P(B' \cup A') = P(B') + P(A')$$.

\[ P(B' \cup A') = 0.16 + 0.05 = 0.21 \]

Тогда вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г:

\[ P(790 < ext{масса} < 810) = 1 - P(B' \cup A') = 1 - 0.21 = 0.79 \]

Примечание: Интерпретация "меньше" и "больше" как строгих или нестрогих неравенств может влиять на результат. Если "меньше 810" означает $$\le 810$$, и "больше 790" означает $$\ge 790$$, то решение остается таким же, так как случай равенства не влияет на вероятность в непрерывном распределении, или же если точки 790 и 810 имеют нулевую вероятность.

Ответ: 0.79