5*. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, длина диагонали AC равна 6 см. Найдите AM, если точка M лежит на продолжении стороны AD.

Так как BM — высота к прямой AD, то BM ⟂ AD. В прямоугольном треугольнике ABM угол между AB и BM равен 30°, поэтому ∠BAM = 60°.

Поскольку M лежит на продолжении AD за точку A, луч AM противоположен лучу AD. Следовательно, внутренний угол ромба BAD равен 180° − 60° = 120°.

Диагональ AC ромба делит угол A пополам, поэтому ∠BAC = 60°. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а угол между ними равен 120°, так что AC = AB. Следовательно, AB = 6 см.

В прямоугольном треугольнике ABM гипотенуза AB равна 6 см, а угол B равен 30°. Сторона AM лежит напротив угла 30°, значит, AM = AB / 2 = 3 см.

Ответ: AM = 3 см.