5. Высота BM, проведенная из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Так как BM — высота к AD, то BM ⟂ AD, а значит, треугольник ABM прямоугольный с прямым углом при M. Угол ABM равен 30°, поэтому AM — катет, лежащий напротив угла 30°.

В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы: AB = 2 · AM = 2 · 4 = 8 см. Следовательно, сторона ромба равна 8 см.

Поскольку M лежит на AD, угол BAD равен углу BAM. Он равен 180° − 90° − 30° = 60°. В треугольнике ABD стороны AB и AD равны 8 см, а угол между ними равен 60°, поэтому треугольник равносторонний и BD = 8 см.

Ответ: 8 см.