5. Вычислить 16⁻⁴⁵ ⋅ 64⁻⁴ / (2⁻⁴¹ ⋅ 4⁻⁴¹)

Решение:

Приведем все числа к основанию 2:

\( 16 = 2^4 \)
\( 64 = 2^6 \)
\( 4 = 2^2 \)

Подставим в выражение:

\[ \frac{(2^4)^{-45} \cdot (2^6)^{-4}}{(2^{-41}) \cdot (2^2)^{-41}} = \frac{2^{4 \cdot (-45)} \cdot 2^{6 \cdot (-4)}}{2^{-41} \cdot 2^{2 \cdot (-41)}} = \frac{2^{-180} \cdot 2^{-24}}{2^{-41} \cdot 2^{-82}} \]

Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):

\[ \frac{2^{-180 - 24}}{2^{-41 - 82}} = \frac{2^{-204}}{2^{-123}} \]

Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ 2^{-204 - (-123)} = 2^{-204 + 123} = 2^{-81} \]

Ответ: \( 2^{-81} \)