5. В прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с вписана окружность радиуса r. Докажите, что r = (a+b-c)/2.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90° \), катеты \( AC = b \) и \( BC = a \), гипотенуза \( AB = c \).

Пусть \( O \) — центр вписанной окружности, а \( r \) — ее радиус.

Окружность касается сторон треугольника в точках \( D \) на \( BC \), \( E \) на \( AC \) и \( F \) на \( AB \).

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

\( CD = CE = r \) (так как \( CDOE \) — квадрат, где \( D \) и \( E \) — точки касания, \( O \) — центр, \( CD \perp OC, CE \perp OC \)).

\( BD = BF = a - r \).

\( AE = AF = b - r \).

Длина гипотенузы \( c = AB = AF + BF \).

Подставим выражения для \( AF \) и \( BF \):

\( c = (b - r) + (a - r) \)

\( c = a + b - 2r \)

Теперь выразим \( r \):

\( 2r = a + b - c \)

\( r = \frac{a + b - c}{2} \)

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.