4. Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 12 см, а наибольшая боковая сторона — 25 см. Найдите периметр трапеции.

Решение:

В прямоугольной трапеции радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции. Так как одно из боковых сторон является высотой, то ее длина равна диаметру окружности.

Радиус \( r = 12 \) см.

Диаметр \( d = 2r = 2 \times 12 = 24 \) см.

Высота прямоугольной трапеции равна меньшему боковому основанию (которое является перпендикулярным к основаниям). Следовательно, одно из оснований равно 24 см.

Пусть \( h \) — высота трапеции, \( b_1 \) и \( b_2 \) — основания, \( c \) — наибольшая боковая сторона.

В прямоугольной трапеции, вписанной в окружность, высота равна одному из боковых сторон, и это меньшее боковое основание.

\( h = 2r = 24 \) см.

Так как это прямоугольная трапеция, то одно из боковых сторон перпендикулярно основаниям, и оно равно высоте. Значит, \( h = 24 \) см. Это меньшее боковое основание.

Наибольшая боковая сторона \( c = 25 \) см.

Периметр трапеции \( P = a + b + c + d \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( c \) и \( d \) — боковые стороны.

В нашем случае, одно боковое основание равно высоте \( h = 24 \) см. Это меньшее боковое основание.

Пусть \( b_1 = 24 \) см (меньшее основание).

Пусть \( b_2 \) — большее основание.

Пусть \( c = 25 \) см (наибольшая боковая сторона).

Проведем из вершины меньшего основания (где находится угол 90°) высоту к большему основанию. Эта высота будет равна \( h = 24 \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большей боковой стороной, высотой и разницей оснований.

Разница оснований \( \Delta b = b_2 - b_1 \). По теореме Пифагора:

\( c^2 = h^2 + (\Delta b)^2 \)

\( 25^2 = 24^2 + (\Delta b)^2 \)

\( 625 = 576 + (\Delta b)^2 \)

\( (\Delta b)^2 = 625 - 576 = 49 \)

\( \Delta b = \sqrt{49} = 7 \) см.

Теперь найдем большее основание \( b_2 \):

\( b_2 = b_1 + \Delta b = 24 + 7 = 31 \) см.

Периметр трапеции \( P = b_1 + b_2 + h + c \) (так как в прямоугольной трапеции одна боковая сторона равна высоте).

\( P = 24 + 31 + 24 + 25 = 104 \) см.

Ответ: 104 см.