5. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 15 и катет ВС = 20. На гипотенузе АВ отложена часть AD длины 4. Определите длину отрезка CD.

Решение:

1. Найдём длину гипотенузы AB по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \).
2. \( AB = \sqrt{625} = 25 \).
3. Точка D лежит на AB, AD = 4. Тогда DB = AB - AD = 25 - 4 = 21.
4. Проведём высоту CH из вершины C на гипотенузу AB. Площадь треугольника ABC равна \( S = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 20 = 150 \).
5. Также площадь равна \( S = \frac{1}{2} AB \cdot CH \). Отсюда \( CH = \frac{2S}{AB} = \frac{2 150}{25} = \frac{300}{25} = 12 \).
6. В прямоугольном треугольнике СНВ найдём BH: \( BH = \sqrt{BC^2 - CH^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \).
7. Так как D лежит на AB,ссмотрим треугольник CDH. Нам нужно найти CD.
8. DH = |DB - BH| = |21 - 16| = 5.
9. В прямоугольном треугольнике CDH по теореме Пифагора: \( CD^2 = CH^2 + DH^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \).
10. \( CD = \sqrt{169} = 13 \).

Ответ: 13