5. В параллелограмме ABCD биссектриса угла D пересекает сторону AB в точке Р. Отрезок АР меньше отрезка ВР в 6 раз. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 14 см.

Решение:

Дано: \( ABCD \) — параллелограмм, \( DP \) — биссектриса \( \angle D \), \( AP = \frac{1}{6} BP \), \( AB = 14 \) см.

Найти: \( P_{ABCD} \).

1. Свойства биссектрисы и параллелограмма:

• Так как \( DP \) — биссектриса \( \angle D \), то \( \angle ADP = \angle PDC \).
• Так как \( AB \parallel CD \), то \( \angle PDC = \angle APD \) (накрест лежащие углы).
• Следовательно, \( \angle ADP = \angle APD \).

2. Анализ треугольника \( APD \):

В \( \triangle APD \) \( \angle ADP = \angle APD \), значит, треугольник равнобедренный. Отсюда следует, что \( AD = AP \).

3. Находим длины отрезков \( AP \) и \( BP \):

Из условия \( AB = 14 \) см и \( AP = \frac{1}{6} BP \).

Заменим \( BP \) на \( AB - AP \):

\[ AP = \frac{1}{6} (14 - AP) \]

Умножим обе части на 6:

\[ 6AP = 14 - AP \]

Прибавим \( AP \) к обеим частям:

\[ 7AP = 14 \]

\[ AP = \(\frac{14}{7}\) = 2 \) см.

Тогда \( BP = AB - AP = 14 - 2 = 12 \) см.

Проверим условие: \( AP = 2 \) см, \( BP = 12 \) см. \( 2 = \frac{1}{6} \) * \( 12 \) — верно.

4. Находим стороны параллелограмма:

Мы выяснили, что \( AD = AP = 2 \) см.

Противоположная сторона \( BC = AD = 2 \) см.

Сторона \( AB = 14 \) см. Противоположная сторона \( CD = AB = 14 \) см.

5. Находим периметр параллелограмма:

\[ P_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2(14 + 2) = 2(16) = 32 \) см.

Ответ: 32 см.