4. На диагонали АС параллелограмма ABCD отметили точки Р и К так, что АР = СК (точка Р лежит между точками А и К). Докажите, что ∠ADP = ∠CBK.

Доказательство:

Дано: \( ABCD \) — параллелограмм, \( P, K \) — точки на \( AC \), \( AP = CK \).

Доказать: \( \angle ADP = \angle CBK \).

1. Рассмотрим треугольники \( ADP \) и \( CBK \):

• \( AD = BC \) (противоположные стороны параллелограмма равны).
• \( \angle DAP = \angle BCK \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AC \)).
• \( AP = CK \) (по условию).

По двум сторонам и углу между ними (второй признак равенства треугольников), \( \triangle ADP = \triangle CBK \).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны, значит, \( \angle ADP = \angle CBK \).

Что и требовалось доказать.