5.* В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все 3 тетради окажутся в клетку?

Решение:

Всего тетрадей в пачке: \( 7 \text{ (линейку)} + 5 \text{ (в клетку)} = 12 \) тетрадей.

Выбираем 3 тетради наугад.

Найдем общее число способов выбрать 3 тетради из 12:

Это число сочетаний из 12 по 3, обозначается \( C_{12}^3 \) или \( \binom{12}{3} \).

\( C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 × 11 × 10}{3 × 2 × 1} = 2 × 11 × 10 = 220 \)

Найдем число способов выбрать 3 тетради в клетку из 5 имеющихся:

Это число сочетаний из 5 по 3, обозначается \( C_5^3 \) или \( \binom{5}{3} \).

\( C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 × 4}{2 × 1} = 10 \)

Найдем вероятность того, что все 3 выбранные тетради окажутся в клетку:

Вероятность = (Число благоприятных исходов) / (Общее число исходов)

\( P(\text{3 в клетку}) = \frac{C_5^3}{C_{12}^3} = \frac{10}{220} \)

Упростим дробь:

\( \frac{10}{220} = \frac{1}{22} \)

Ответ: \( \frac{1}{22} \)