5. Упростите выражение: $\left(\frac{3}{a-3a^{0,5}}-\frac{a^{1,5}}{a^2-9a}\right):\frac{a^{0,5}}{a^{0,5}+3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Упростите выражение: $\left(\frac{3}{a-3a^{0,5}}-\frac{a^{1,5}}{a^2-9a}\right):\frac{a^{0,5}}{a^{0,5}+3}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений исходного выражения: $a>0$, $a\ne9$. Обозначим $t=\sqrt a$, тогда $a=t^2$, $a^{1.5}=t^3$, где $t>0$, $t\ne3$.

В скобках:

$\frac{3}{t^2-3t}-\frac{t^3}{t^4-9t^2}=\frac{3}{t(t-3)}-\frac{t}{(t-3)(t+3)}$.

Приводим к общему знаменателю:

$\frac{3(t+3)-t^2}{t(t-3)(t+3)}$.

Деление на $\frac{t}{t+3}$ заменяем умножением на обратную дробь:

$\frac{3(t+3)-t^2}{t(t-3)(t+3)}\cdot\frac{t+3}{t}=\frac{-t^2+3t+9}{t^2(t-3)}$.

Возвращаясь к $a$, получаем $\frac{-a+3\sqrt a+9}{a(\sqrt a-3)}$.

Ответ: $\frac{-a+3\sqrt a+9}{a(\sqrt a-3)}$, $a>0$, $a\ne9$.

5. Упростите выражение: \(\left(\frac{3}{a-3a^{0,5}}-\frac{a^{1,5}}{a^2-9a}\right):\frac{a^{0,5}}{a^{0,5}+3}\).