5. Точки А, Г, Н, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 5:8:5. Найдите больший угол треугольника AFН. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Общая сумма градусов в окружности равна 360°. Три дуги относятся как 5:8:5. Общее количество частей равно \( 5 + 8 + 5 = 18 \).

Величина одной части равна \( \frac{360°}{18} = 20° \).

Градусные величины дуг:

• Дуга АГ = \( 5 \cdot 20° = 100° \)
• Дуга ГН = \( 8 \cdot 20° = 160° \)
• Дуга НА = \( 5 \cdot 20° = 100° \)

Угол AFН является вписанным углом, опирающимся на дугу АН. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

\( \angle AFH = \frac{1}{2} \text{ дуга АН} = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50° \)

Угол FAH является вписанным углом, опирающимся на дугу ГН.

\( \angle FAH = \frac{1}{2} \text{ дуга ГН} = \frac{1}{2} \cdot 160° = 80° \)

Угол AHG является вписанным углом, опирающимся на дугу АГ.

\( \angle AHG = \frac{1}{2} \text{ дуга АГ} = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50° \)

Больший угол треугольника AFН — это угол FAH.

Ответ: 80