1. В угол F величиной 43° вписана окружность с центром Х, которая касается сторон угла в точках М. и А. Найдите угол МХА. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол F является углом между касательной FA и хордой FM. Центральный угол MXA равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на дугу MA. Так как FA и FM — касательные, то OA ⊥ FA и OK ⊥ FK. Треугольник FAX является равнобедренным, так как XA = XF (радиусы). Угол F = 43°.

В четырёхугольнике XAMF, углы ∠XMA и ∠XAF равны 90° (как углы между радиусом и касательной). Сумма углов четырёхугольника равна 360°.

\( \angle MXA + \angle XMA + \angle MAF + \angle AFX = 360° \)

\( \angle MXA + 90° + 43° + 90° = 360° \)

\( \angle MXA + 223° = 360° \)

\( \angle MXA = 360° - 223° = 137° \)

Ответ: 137