5. Стороны треугольника 6 см, 10см, 14 см. Найти наименьшую высоту

Решение:

Пусть стороны треугольника равны \( a = 6 \) см, \( b = 10 \) см, \( c = 14 \) см. Наименьшая высота треугольника проводится к наибольшей стороне. Наибольшая сторона — \( c = 14 \) см. Обозначим наименьшую высоту как \( h_c \).

Для начала найдём площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр \( p \) равен:

\[ p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+10+14}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) см

Площадь \( S \) треугольника:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

\[ S = \sqrt{15(15-6)(15-10)(15-14)} \]

\[ S = \sqrt{15 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 1} \]

\[ S = \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 5} \]

\[ S = \sqrt{9 \cdot 25 \cdot 3} \]

\[ S = 3 \cdot 5 \sqrt{3} = 15\sqrt{3} \) см²

Теперь найдём наименьшую высоту \( h_c \), используя формулу площади через высоту:

\[ S = \frac{1}{2} c \cdot h_c \]

\[ 15\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h_c \]

\[ 15\sqrt{3} = 7 \cdot h_c \]

\[ h_c = \(\frac{15\sqrt{3}}{7}\) \) см

Ответ: Наименьшая высота треугольника равна \(\frac{15\sqrt{3}}{7}\) см.