5. Решите задачу: В ДABC проведена биссектриса AL, ∠ALC = 111°, ∠ABC = 91°. Найдите ∠AСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Дано:

\( \triangle ABC \)

AL — биссектриса

\( \angle ALC = 111^{\circ} \)

\( \angle ABC = 91^{\circ} \)

Найти: \( \angle ACB \)

Решение:

1. Угол \( \angle ALB \) смежный с углом \( \angle ALC \). Сумма смежных углов равна \( 180^{\circ} \).
2. \( \angle ALB = 180^{\circ} - \angle ALC = 180^{\circ} - 111^{\circ} = 69^{\circ} \).
3. Рассмотрим \( \triangle ALB \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).
4. \( \angle BAL = 180^{\circ} - \angle ALB - \angle ABC = 180^{\circ} - 69^{\circ} - 91^{\circ} = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} \).
5. AL — биссектриса \( \angle BAC \), значит, \( \angle BAC = 2 \cdot \angle BAL \).
6. \( \angle BAC = 2 \cdot 20^{\circ} = 40^{\circ} \).
7. Рассмотрим \( \triangle ABC \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).
8. \( \angle ACB = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 91^{\circ} = 180^{\circ} - 131^{\circ} = 49^{\circ} \).

Ответ: \( 49^{\circ} \).