5. Решите уравнение: |x + y - 3| + x² - 2xy + y² = 0.

Задание 5. Решение уравнения с модулем

Дано уравнение: |x + y - 3| + x² - 2xy + y² = 0.

Заметим, что выражение x² - 2xy + y² является полным квадратом разности: (x - y)².

Уравнение примет вид: |x + y - 3| + (x - y)² = 0.

Сумма двух неотрицательных слагаемых (модуль и квадрат) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю.

Следовательно, имеем систему уравнений:

\[ \begin{cases} |x + y - 3| = 0 \\ (x - y)² = 0 \end{cases} \]

Из этих уравнений получаем:

\[ \begin{cases} x + y - 3 = 0 \\ x - y = 0 \end{cases} \]

Из второго уравнения: x = y.

Подставим x = y в первое уравнение:

\[ x + x - 3 = 0 \]

\[ 2x = 3 \]

\[ x = \frac{3}{2} \]

Так как x = y, то y = 3/2.

Ответ: x = 3/2, y = 3/2.