4. Разность квадратов двух натуральных чисел равна 64, а разность самих чисел равна 2. Найдите эти числа.

Задание 4. Разность квадратов чисел

Пусть два натуральных числа будут x и y.

По условию задачи имеем два уравнения:

1. Разность квадратов чисел равна 64:
   
   

   \[ x^2 - y^2 = 64 \]

2. Разность самих чисел равна 2:
   
   

   \[ x - y = 2 \]

Используем формулу разности квадратов: \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \).

Подставим известные значения в первое уравнение:

\[ (2)(x + y) = 64 \]

\[ x + y = \frac{64}{2} \]

\[ x + y = 32 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[ \begin{cases} x + y = 32 \\ x - y = 2 \end{cases} \]

Сложим оба уравнения:

\[ (x + y) + (x - y) = 32 + 2 \]

\[ 2x = 34 \]

\[ x = 17 \]

Подставим значение x в любое из уравнений системы. Возьмем второе:

\[ 17 - y = 2 \]

\[ y = 17 - 2 \]

\[ y = 15 \]

Проверим:

\[ x^2 - y^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64 \]

\[ x - y = 17 - 15 = 2 \]

Числа натуральные, удовлетворяют условиям.

Ответ: числа 17 и 15.